Kita telah membicarakan deret yang memiliki jumlahan berhingga. Kita juga sudah melihat bahwa terdapat pula
contoh deret yang memiliki jumlahan tak hingga. Jika suatu deret memiliki jumlaha berhingga, deret tersebut dikatakan
konvegen dan deret yang memiliki jumlahan tak hingga dikatakan divergen. Apabila kita menerapkan operasi aljabar dasar
pada suatu deret divergen, kita akan menemukan hal yang aneh, untuk itu, amatlah penting untuk mengetahui bahwa deret
yang sedang kita tinjau divergen atau konvergen.
Uji ini memiliki dua bagian, yaitu mengambil contoh deret yang konvergen dan divergen. Andaikan
$$m_1+m_2+m_3+m_4+\cdots$$
merupakan deret suku-suku positif yang jelas konvergen. Lalu kita memiliki deret yang akan diuji, katakanlah
$$ a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots$$
merupakan deret yang konvergen jika \(|a_n|\leq m_n\).
Kita dapat menggunakan uji ini jika suku-suku deret positif dan tidak bertambah, yaitu ketika \(a_{n+1}\leq a_n\).
Uji ini diterapkan dengan menganggap \(a_n\) sebagai fungsi variabel \(n\) dan melupakan arti nilai \(n\) sebelumnya,
lalu kita mengambilnya dan memasukkan semua nilai dalam sekali integral. Uji ini menyatakan bahwa
Andaikan \(0 < a_{n+1} < a_n\) untuk \(n>N\), lalu \(\sum^\infty a_n\) dikatakan konvergen jika \(\int^\infty a_n\ dn\)
berhingga dan dikatakan divergen jika integral tersebut tak hingga.
Uji integralbergantung pada kemampuan kita untuk mengintegralkan \(a_n\ dn\).
Hal ini tidak selalu mudah. Kita memerlukan uji yang lain yang dapat menangani kasus-kasus saat kita
tidak dapat menggunakan uji integral. Coba kita tinjau kembali suatu deret ukur yaitu deret yang
nilai suatu sukunya dapat diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio \(r\), yaitu
$$a_{n+1}=r\ a_n\qquad\text{atau}\qquad r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
Terkadang, rasio \(a_{n+1}/a_n\) tidak konstan, tetapi bergantung pada \(n\). Andaikan nilai mutlak
rasio semacam ini kita sebut dengan \(\rho_n\). Lalu kita juga dapat mengandaikan limit \(\rho_n\) untuk
\(n\to\infty\) kita sebut dengan limit \(\rho\). Berikutnya kita dapat merumuskan \(\rho_n\) dan \(\rho\) menurut
$$\rho_n=\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,$$
$$\rho=\lim_{n\to\infty}\rho_n.$$