1. Deret Pangkat

1.3 Deret Bolak-balik

Kita sudah cukup jauh membicarakan deret dengan suku-suku positif termasuk deret dengan nilai mutlak. Sekarang, kita akan meninjau suatu kasus penting dari deret yang memiliki tanda campuran positif dan negatif. Deret Bolak-balik merupakan deret yang suku-sukunya memiliki tanda plus dan minus bergantian. Contohnya adalah $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}-\cdots \qquad (1)$$

Kita dapat memberikan dua pertanyaan terkait dengan deret bolak-balik ini. Apakah deret tersebut konvergen? Apakah deret tersebut sepenuhnya konvergen? Mari kita lihat uraiannya dengan menjawab pertanyaan kedua. Deret nilai mutlak yang diperoleh dari ungkapan \((1)\) adalah $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots,$$ yang merupakan deret harmonik yang divergen. Lalu, kita dapat mengatakan bahwa deret \((1)\) tidak sepenuhnya konvergen. Berikutnya kita dapat bertanya bagaimana kekonvergenan \((1)\) dapat diperoleh. Jika suatu deret sepenuhnya konvergen, kita tidak perlu bertanya karena deret yang sepenuhnya konvergen juga merupakan deret yang konvergen. Bagaimanapun deret yang tidak sepenuhnya konvergen dapat konvergen atau divergen. Oleh karena itu kita harus melakukan uji konvergensi terhadap deret bolak-balik yang akan dijelaskan di bawah ini.

Dalam contoh kita \((1)\), diperoleh $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n},\quad\text{ dan }\quad \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0,$$ sehingga deret tersebut konvergen.