1.4 Deret Pangkat
Kita telah mendiskusikan deret yang suku-sukunya merupakan konstanta. Lebih jauh, kita akan meninjau deret yang suku-sukunya merupakan suatu fungsi \(x\), yang penting dan sangat berguna dalam berbagai terapan. Deret semacam ini muncul dalam berbagai bentuk, akan tetapi, pada bab ini kita akan membatasi deret dengan suku ke-\(n\) yang merupakan perkalian konstanta dengan \(x^n\) atau perkalian konstanta dengan \((x-a)^n\) dengan \(a\) suatu konstanta. Deret semacam ini disebut deret pangkat, karena suku-suku pengali pangkatnya adalah \(x\) atau \((x-a)\).
Menurut definisi deret pangkat dituliskan dalam bentuk $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots,$$ atau $$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a)^2+a_3(x-a)^3+\cdots,$$ dengan koefisien \(a_n\) merupakan suatu konstanta.
Mari kita lihat contoh-contoh deret pangkat di bawah ini. $$\text{(a)}\quad 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{8}+\cdots+\frac{(-x)^n}{2^n}+\cdots,\\ \text{(b)}\quad x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\cdots,\\ \text{(c)}\quad x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots,\\ \text{(d)}\quad 1+\frac{(x+2)}{\sqrt{2}}+\frac{(x+2)^2}{\sqrt{3}}\cdots+\frac{(x+2)^n}{\sqrt{n+1}}+\cdots. $$
Konvergensi deret pangkat biasa diuji menggunakan uji rasio. Uji ini dilakukan untuk menemukan nilai \(x\) yang merupakan deret konvergen. Lebih jauh, hasil uji ini biasa disebut rentang konvergensi.