1.6 Perluasan Fungsi Ke dalam Deret Pangkat

1.6.1 Contoh Perluasan Fungsi

Berikut adalah rangkuman beberapa perluasan fungsi yang dituliskan dalam bentuk deret pangkat, yang dapat diperoleh menggunakan cara yang telah diuraikan sebelumnya.
$$ (a).\quad \sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\quad \text{untuk semua } x\\ (b).\quad \cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\quad \text{untuk semua } x\\ (c).\quad e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots,\quad \text{untuk semua } x\\ (d).\quad \ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots,\quad \text{untuk } -1<x\leq 1\\ (e).\quad (1+x)^p=1+px+\frac{p(p-1)}{2!}x^2+\frac{p(p-1)(p-2)}{3!}x^3+\cdots,\quad \text{untuk } |x|<1 $$

1.6.2 Penurunan Perluasan

Dalam berbagai terapan kerja, akan sangat berguna apabila kita menggunakan deret pangkat untuk mewakili fungsi yang diberikan. Kita akan mengilustrasi satu contoh metode perolehan deret semacam ini, yaitu untuk deret \(\sin x\). Kita dapat menganggap bahwa \(\sin x\) dapat diperluas dalam suatu deret pangkat menurut $$\sin x= a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n+\cdots \qquad (1)$$ dengan \(a_n\) merupakan koefisien yang harus dicari untuk membuat identitas dalam interval konvergensi deret tersebut. Oleh karena interval konvergensi mengandung titik pusat, persamaan \((1)\) harus terpenuhi untuk \(x=0\). Jika kita substitusikan \(x=0\) ke persamaan \((1)\), akan diperoleh $$ \sin 0=a_0+0+0+\cdots,\\ a_0=0. $$ Berikutnya, apabila persamaan \((1)\)kita turunkan, akan diperoleh $$\cos x = a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots$$ Dan jika kita memasukkan \(x=0\), akan diperoleh $$ \cos 0=a_1+0+0\cdots,\nonumber\\ a_1=1 $$ Untuk beberapa langkah penurunan berikutnya dan pemberian \(x=0\), kita akan memperoleh $$ a_2=0,\quad a_3=-\frac{1}{3!},\quad a_4=0,\quad a_5=\frac{1}{5!}\\ \cdots $$ Apabila nilai-nilai koefisien \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) yang kita peroleh disubstitusikan ke persamaan \((1)\) akan didapatkan

$$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots.$$
Deret-deret yang diperoleh dengan cara semacam ini disebut Deret Maclaurin atau Deret Tailor di sekitar pusat koordinat.